연구자들은 반사 없이 평면을 비주기적으로 타일링하는 단일 모양을 발견했습니다.

Sep 10, 2023

2023년 7월 5일

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작성자: Joe Petrik, 워털루 대학교

최근 Cheriton School of Computer Science 교수인 Craig Kaplan 박사를 포함한 4명의 국제 팀이 결코 반복할 수 없는 패턴으로 평면(무한한 2차원 표면)을 타일링하는 단일 모양을 발견했습니다.

이 발견은 수학자, 타일링 애호가, 대중 모두를 매료시켰습니다.

그들이 "모자"라고 부르는 13개의 면을 가진 다각형인 이 모양은 수학자들에게 비주기적 단일체 또는 "하나의 돌"을 의미하는 독일어 단어인 "아인슈타인"으로 알려져 있습니다.

그러나 팀의 가장 최근 발견은 다시 한 번 기준을 높였습니다. 그들은 첫 번째 모양과 관련하여 훨씬 더 엄격한 정의를 충족하는 또 다른 모양을 발견했습니다. "유령"이라고 불리는 이 새로운 모양은 모양의 거울 이미지를 사용하지 않으면 결코 반복되지 않는 패턴으로 평면을 타일링합니다. 이러한 이유로 반사가 필요 없이 비주기적으로 타일링되는 모양인 "뱀파이어 아인슈타인"이라고도 불립니다.

Kaplan은 "우리의 첫 번째 논문은 아인슈타인 문제를 해결했지만, 모양이 비주기적으로 타일을 만들기 위해서는 반사가 필요하기 때문에 타당한 질문을 제기했습니다. 반사 없이 모자가 하는 일을 할 수 있는 모양이 있습니까"라고 Kaplan은 설명합니다. "이 하위 문제를 해결할 뿐만 아니라 첫 번째 논문이 나온 직후에 문제를 해결할 수 있는 형태를 발견한 것은 행운이었습니다."

수학자에게는 모자와 거울 이미지가 하나의 모양이지만 물리적 세계에서는 왼손잡이와 오른손잡이 모양이 다르게 동작할 수 있습니다. 예를 들어 왼손에 오른손잡이용 장갑을 끼는 것은 불가능합니다.

Kaplan은 "한 면이 유리로 코팅된 모자 모양 타일을 사용하여 큰 욕실 바닥을 비정기적으로 타일링하는 경우 모자와 모자의 거울 이미지가 필요합니다"라고 말합니다.

그러나 최근 발견에 동기를 부여한 것은 이러한 문제가 아니었습니다.

뱀파이어 아인슈타인의 발견은 은퇴한 인쇄 기술자이자 영국 요크셔 출신의 자칭 도형 애호가인 데이비드 스미스(David Smith)의 생각에서 시작되었습니다. 데이비드 스미스의 호기심은 몇 달 전 최초의 아인슈타인 발견으로 이어졌습니다.

Kaplan은 "Dave는 모자 신문이 온라인에 게시된 지 며칠 후 우리에게 이메일을 보내 자신이 이상하게 행동하는 것처럼 보이는 관련 모양을 갖고 놀았다고 말했습니다."라고 말합니다. "일본의 수학자이자 MC Escher의 정신을 따르는 유명한 예술가인 Yoshiaki Araki가 Tile(1,1)의 사진을 게시하여 Dave가 더 자세히 살펴보고 싶어하게 만들었습니다."

요시아키는 트위터에 "새로운 비주기적 단일타일 타일(1, 1.1)을 기반으로 한 비주기적 거북이 테셀레이션. 타일링에서는 약 12.7%의 타일이 반사된다고 합니다. 녹색이 예시입니다. 하나 더"라는 흥미로운 질문을 트위터에 올렸습니다. 반사된 거북이는 타일링에 숨겨져 있습니다. 반사된 거북이는 누구인가요?'"

"Yoshi는 Tile(1,1)을 거북이로 만들었고 그 그림에서 반사된 다른 거북이를 보기가 약간 어렵습니다. 그러나 Dave는 호기심을 갖게 되었습니다. 반사 없이 이 모양으로 타일을 타일링하면 어떨까요? 그가 그렇게 했을 때 Dave는 그는 멈추지 않고 반복하지 않는 패턴으로 타일링을 점진적으로 바깥쪽으로 만들 수 있다는 것을 발견했습니다."

그러나 이 모양은 다른 문제와 함께 나타났습니다. Kaplan이 설명했듯이 Tile(1,1)의 반사를 사용하면 패턴이 반복됩니다. 즉, 주기적입니다. 그러나 직선 모서리를 곡선으로 대체하여 Tile(1,1)을 수정하면 흡혈귀 아인슈타인, 즉 반사 없이 무한한 평면을 반복할 수 없는 패턴으로 타일링하는 단일 모양이 됩니다.