종이접기 - 주름잡기의 수학

Nov 30, 2023

2015년 1월 7일

토마스 헐(Thomas Hull) 저, 대화

종이접기는 일본의 고대 종이 접기 예술입니다. 자르지 않은 정사각형 종이 하나를 종이접기 예술가의 손에서 접으면 새, 개구리, 범선 또는 일본 사무라이 투구 딱정벌레로 접힐 수 있습니다. 종이접기는 엄청나게 복잡하고 복잡할 수 있습니다.

종이접기 예술은 지난 30년 동안 점점 더 복잡해지는 수준에서 새로운 디자인이 탄생하면서 르네상스를 맞이해 왔습니다. 종이접기 복잡성의 증가가 과학자, 수학자, 종이접기 예술가들이 종이 접기 작동 방식을 제어하는 ​​수학적 규칙을 점점 더 많이 발견하는 것과 동시에 나타난 것은 우연이 아닙니다.

실제로, 예를 들어 새의 종이접기 모델을 조심스럽게 펼치면 모델의 청사진 역할을 하는 주름 패턴을 볼 수 있습니다. 이 주름 패턴에는 종이가 어떻게 새 모양으로 접힐 수 있는지에 대한 비밀이 담겨 있으며, 그 비밀은 수학입니다. 이론적으로 우리는 이 주름 패턴을 사용하여 종이가 어떻게 접혀야 하는지, 어떤 모양을 형성할지 정확히 결정할 수 있습니다. 즉, 종이 접기의 모든 비밀 규칙을 이해했다면 말입니다.

본질적으로 수학은 숫자, 주식 시장, 자연의 패턴 등 우주의 규칙과 패턴을 이해하는 것입니다. 종이접기의 경우 주름 패턴의 기하학적 구조, 선이 교차하는 위치, 어떤 각도를 형성하는지, 주름이 어떤 방향으로 접히는지 살펴봐야 합니다. 계곡 주름인가요, 산 주름인가요?

대부분의 전통적인 종이접기 모델은 납작하게 접혀서, 구겨지지 않고 책에 있는 모델을 누를 수 있습니다. 평평한 종이접기 모델의 주름 패턴에는 몇 가지 매우 특별한 특성이 있는 것으로 밝혀졌습니다. 그 중 하나는 마에카와 정리(Maekawa's Theorem)입니다. 평평한 종이접기 주름 패턴에서 주름이 교차하는 모든 정점에서 산 주름 수와 계곡 주름 수의 차이는 항상 2입니다. 예를 들어 정점에는 5개의 산과 3개의 계곡이 있을 수 있지만 6개의 산과 2개의 계곡은 있을 수 없습니다.

1970년대 일본의 천체물리학자 미우라 고려(Koryo Miura)는 미우라오리(Miura-ori)라고도 알려진 미우라 지도 접기를 발명했습니다. 이는 하나의 모양이 간격 없이 전체 표면에 걸쳐 계속해서 반복되는 종이접기 테셀레이션의 예입니다. 이 경우 주름 패턴은 평행사변형의 타일링이므로 타일링의 선도 편평하게 접힌 종이접기의 규칙을 따릅니다. 미우라 박사는 모델이 매우 쉽게 열리고 닫힐 수 있도록 주름 패턴의 산과 계곡을 선택했습니다.

이 주름 패턴은 지도가 매우 쉽게 열리고 닫히기 때문에 지도를 접는 데 매우 좋은 대안이 됩니다. 그러나 미우라 박사는 이 디자인을 대형 태양 전지판을 우주 공간에 배치하는 방법으로 사용했습니다. 각 평행사변형을 태양 전지로 생각하면 모두 경첩으로 연결됩니다. 그런 다음 어레이는 로켓으로 발사되기 전에 우주 위성에 탑재될 작은 패키지로 접힐 수 있습니다. 우주에 들어가면 인간의 손의 도움 없이 간단한 확장 막대로 열 수 있습니다.

미우라 지도 접기는 많은 연구자들에게 영감을 주어 그것이 어떻게 작동하고, 그 특성과, 어떻게 사용될 수 있는지 조사했습니다. 예를 들어, 저는 매사추세츠 대학교 애머스트 대학교와 코넬 대학교의 연구원들로 구성된 팀과 협력하여 기계 장치로서의 미우라 지도 접기를 연구했습니다. 접힌 부분을 압축하는 데 얼마나 많은 힘이 필요하며, 접힌 부분을 놓았을 때 얼마나 많은 힘이 튀어 나오나요? 사이언스(Science)에서 우리는 미우라 지도의 접힌 부분에 결함을 도입함으로써(예를 들어 정점 중 일부를 반대 방향으로 찔러서) 이러한 동작을 어떻게 변경할 수 있는지 보고했습니다. 아래에 예가 나와 있습니다.

우리 그룹도 셀프 폴딩을 연구해 왔습니다. 스스로 접히는 소재를 만들었는데, 이는 다른 그룹에서도 관심을 불러일으키는 주제였습니다. Conte National Center for Polymer Research의 Ryan Hayward 그룹은 가열 시 미세한 젤 시트가 주름선을 따라 부풀어오르게 만드는 방법을 개발했습니다. 그들의 방법으로 미세한 크레인을 만들 수 있습니다.